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Mathématiques (Analyse) Niveau : Semestre 1 Professeur : Taoufik Benkaraache

Mathématiques (Analyse)

Licence fondamentale Economie & Gestion

Module : Mathématiques (Analyse)

Niveau : Semestre 1

Professeur : Taoufik Benkaraache

 

programme du cours de Math - semestre 1Fichier

Programme :

1-      Introduction et rappels (notations, terminologie, ensembles, relations, applications, fonctions)

2-      Fonction à une variable réelle :

a.       Domaine de définition

b.      Limite et continuité, branches infinies

c.       Dérivabilité, calcul de dérivée

d.      Applications de la dérivée : Equation de la tangente

e.      Variation d’une fonction, tableau de variation, extremum

f.        Dérivée seconde, convexité d’une fonction, point d’inflexion

g.       Courbe d’une fonction

h.      Approximation d’une fonction par un polynôme,Développement limitée d’une fonction

i.         Calcul d’intégrale (par partie, changement de variables)

 

3-      Fonction à deux variables réelles :

a.       Introduction, exemples de fonctions à deux variables, à plusieurs variables

b.      Domaine de définition d’une fonction à deux variables

c.       Sections et courbes de niveau

d.      Dérivées partielles d’ordre 1, d’ordre 2.

e.      Différentielle d’une fonction à deux variables

f.        Extremum libre (condition nécessaire et condition suffisante)

g.       Extremum lié (condition nécessaire et condition suffisante)

 

Fonctionnement du cours à distance :

1-      Chaque séance sera diffusée sur l’ENT et sera enregistrée. Elle pourra être consultée à tout moment par l’étudiant.

2-      L’étudiant peut envoyer des questions ou remarques au professeur, soit en direct dans la séance du cours, ou en différé par la messagerie.

3-      Des documents word ou pdf pourront être partagés sur l’ENT par le professeur (complément de cours, exercices, ..).

4-      Le professeur peut provoquer une ou des évaluations programmées (sous forme de QCM) qui donneront lieu à une note de contrôle continu.


Domaine de définition et ensemble image

Collaborate


fonctions usuelles

Collaborate

Limite et continuité

Collaborate


Continuité et limite (suite)

Collaborate

Limite et continuité






CollaborateCollaborate



















Résumé du cours sur le développement limité




Définition (Taylor-Young) :

Où le réel x  est dans un voisinage de x0, c’est-à-dire x est très proche de x0.

On note aussi :

                                        f(x) = P(x) +  Ԑ(x)

avec 

  • Ԑ(x) =  o((x – x0)n)  qui désigne une quantité négligeable qui tend vers 0  quand  x  tend vers x0.

Ԑ(x)  désigne l’erreur commise quand on approxime la fonction f(x) par son développement limité (l’erreur commise est donc négligeable quand x tend vers  x0).

  • P(x) est un polynôme de degré n donné par :

                                                   


Notation :

Souvent, on note le développement limté d’une fonction f au point  x0 à l’ordre n par : DLn(x0)


Exemples : 

  1. Déterminons le DL2 (0) de la fonction  f(x) = 1 – X + 3 x2 + x3 – x5

On clacule les dérivées successives au point  0 :

On remplace ensuite dans la formule de Taylor-Young :


On obtient :

Interprétation :

Le polynôme de degré 2 qui approxime le mieux la fonction f  au voisinage  0  est :  P(x)= 1 – x + 3 x2.


  • Remarque : Si on veut calculer le DL à l’ordre 2 de la même fonction, mais au point x0 = 1, le résultat ne sera pas le même :

Donc :

 f(x) = 3 + 3 x + (-8) (x – 1)2 / 2 !  + Ԑ(x) = 3 + 3x – 4 (x – 1)2 +  Ԑ(x).



Exercice :

Correction :



  1. Développements limités de quelques fonctions usuelles :

  • DL de ex au point  x0 = 0 :


Comme toutes les dérivées successives de ex sont égales à ex, nous obtenons :

On peut aussi écrire :  

 Autres exemples : 

On peut démontrer facilement, en calculant les dérivées successives, que :


DL6 (0) de  Ln(1 + x2) : 


Remarque : Si la fonction est elle-même un polynôme

  • Si la fonction  f  est elle-même un polynôme de degré  n :  son développement limité à l’ordre  n  au voisinage de 0  sera elle-même (on n’est jamais mieux servi que par soi-même !). 


  • Si la fonction  f  est elle-même un polynôme de degré  n et on cherche un DL à un ordre k < n (voir l’exemple 1 ci-dessus) : le DL sera le polynôme d’ordre k qu’on peut extraire de  f(x).


  • Si la fonction  f  est elle-même un polynôme de degré  n et on cherche un DL à l’ordre k > n : les dérivées successives de f  à l’ordre supérieur à n  seront nulles : on obtient alors comme DL le même DL qu’à l’ordre n, c’est-à-dire  f(x) elle-même.



Opérations sur les DL :

  • DL de   f + g  est égale à la somme de  f  et  de g  

  • DL du produit :

  • DLn(f g)  s’obtient en multipliant les DL de f et de g et on ne gardant que les termes qui ont une puissance inférieure ou égale à n.

Exemple :


-DL au voisinage de l’infini :

On peut calculer le DL de f quand  x  tend vers l’infini : il suffit alors de faire le changement de variable :

X = 1/x.  Cela revient donc à faire le DL de  f(X) au point  X = 0.


Exemple :  f(x) = e1/x

Donner le DL  de  f  au voisinage de l’infini à l’ordre 2 :

On pose X = 1/x

On a alors :  f(x) = eX. Il suffit donc d’utiliser le DL  de ex à l’ordre 2 au point  0 : 

eX =  1 + X +  X2 /2 + Ԑ(X) 

En remplaçant  X  par  1/x :    

                                                   e1/x =  1 + (1/x) + (1/x)2 / 2 + Ԑ(1/x) = 1 + 1/x + 1/x2 + Ԑ(X).


Exemple 2 : (à faire)

Ecrire le développement limité de 1/ 1+𝑥   au voisinage de 0, à l’ordre 3.

                                               1/(1 + 𝑥) = 1 − 𝑥 + 𝑥 2𝑥 3 + 𝑜(𝑥 3 )



Utilisation du Dl dans le calcul des limites : 

Exemple :

                     

Comme  x tend vers 1 : on peut poser  t = x-1  et  t  tend alors vers 0 (ceci pour utiliser les DL  en 0).

On a   x = 1 + t, on remplace dans la limite :

 


Exercices : voir TD.



Fonctions à deux variables









Fich

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