Mathématiques (Analyse) Niveau : Semestre 1 Professeur : Taoufik Benkaraache

May 08, 2022

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Licence fondamentale Economie & Gestion

Module : Mathématiques (Analyse)

Niveau : Semestre 1

Professeur : Taoufik Benkaraache

programme du cours de Math - semestre 1Fichier

Programme :

1- Introduction et rappels (notations, terminologie, ensembles, relations, applications, fonctions)

2- Fonction à une variable réelle :

a. Domaine de définition

b. Limite et continuité, branches infinies

c. Dérivabilité, calcul de dérivée

d. Applications de la dérivée : Equation de la tangente

e. Variation d’une fonction, tableau de variation, extremum

f. Dérivée seconde, convexité d’une fonction, point d’inflexion

g. Courbe d’une fonction

h. Approximation d’une fonction par un polynôme,Développement limitée d’une fonction

i. Calcul d’intégrale (par partie, changement de variables)

3- Fonction à deux variables réelles :

a. Introduction, exemples de fonctions à deux variables, à plusieurs variables

b. Domaine de définition d’une fonction à deux variables

c. Sections et courbes de niveau

d. Dérivées partielles d’ordre 1, d’ordre 2.

e. Différentielle d’une fonction à deux variables

f. Extremum libre (condition nécessaire et condition suffisante)

g. Extremum lié (condition nécessaire et condition suffisante)

Fonctionnement du cours à distance :

1- Chaque séance sera diffusée sur l’ENT et sera enregistrée. Elle pourra être consultée à tout moment par l’étudiant.

2- L’étudiant peut envoyer des questions ou remarques au professeur, soit en direct dans la séance du cours, ou en différé par la messagerie.

3- Des documents word ou pdf pourront être partagés sur l’ENT par le professeur (complément de cours, exercices, ..).

4- Le professeur peut provoquer une ou des évaluations programmées (sous forme de QCM) qui donneront lieu à une note de contrôle continu.

Résumé du cours sur le développement limité

Définition (Taylor-Young) :

Où le réel x est dans un voisinage de x0, c’est-à-dire x est très proche de x0.

On note aussi :

f(x) = P(x) + Ԑ(x)

avec

Ԑ(x) = o((x – x0)n) qui désigne une quantité négligeable qui tend vers 0 quand x tend vers x0.

Ԑ(x) désigne l’erreur commise quand on approxime la fonction f(x) par son développement limité (l’erreur commise est donc négligeable quand x tend vers x0).

P(x) est un polynôme de degré n donné par :

Notation :

Souvent, on note le développement limté d’une fonction f au point x0 à l’ordre n par : DLn(x0)

Exemples :

Déterminons le DL2 (0) de la fonction f(x) = 1 – X + 3 x2 + x3 – x5

On clacule les dérivées successives au point 0 :

On remplace ensuite dans la formule de Taylor-Young :

On obtient :

Interprétation :

Le polynôme de degré 2 qui approxime le mieux la fonction f au voisinage 0 est : P(x)= 1 – x + 3 x2.

Remarque : Si on veut calculer le DL à l’ordre 2 de la même fonction, mais au point x0 = 1, le résultat ne sera pas le même :

Donc :

f(x) = 3 + 3 x + (-8) (x – 1)2 / 2 ! + Ԑ(x) = 3 + 3x – 4 (x – 1)2 + Ԑ(x).

Exercice :

Correction :

Développements limités de quelques fonctions usuelles :

DL de ex au point x0 = 0 :

Comme toutes les dérivées successives de ex sont égales à ex, nous obtenons :

On peut aussi écrire :

Autres exemples :

On peut démontrer facilement, en calculant les dérivées successives, que :

DL6 (0) de Ln(1 + x2) :

Remarque : Si la fonction est elle-même un polynôme

Si la fonction f est elle-même un polynôme de degré n : son développement limité à l’ordre n au voisinage de 0 sera elle-même (on n’est jamais mieux servi que par soi-même !).

Si la fonction f est elle-même un polynôme de degré n et on cherche un DL à un ordre k < n (voir l’exemple 1 ci-dessus) : le DL sera le polynôme d’ordre k qu’on peut extraire de f(x).

Si la fonction f est elle-même un polynôme de degré n et on cherche un DL à l’ordre k > n : les dérivées successives de f à l’ordre supérieur à n seront nulles : on obtient alors comme DL le même DL qu’à l’ordre n, c’est-à-dire f(x) elle-même.

Opérations sur les DL :

DL de f + g est égale à la somme de f et de g
DL du produit :
DLn(f g) s’obtient en multipliant les DL de f et de g et on ne gardant que les termes qui ont une puissance inférieure ou égale à n.

Exemple :